PS理論的フラクタル:Media Point Fractal






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2009年03月21日(Sat)
PS理論的フラクタル:Media Point Fractal
PS理論的フラクタル:Media Point Fractal

テーマ:非線形科学:複雑系・カオス・フラクタル

私の記事は一見、とりとめなく、あちこちに飛ぶが、これは、カオス的ではあるが、しかしながら、諸現象にPS理論的に類似したものを見ているのである。それは、PS理論的フラクタルと呼べるのではないだろうか。略せば、PSフラクタルである。
 どうも、それは当たっているだろう。森羅万象に、Media Pointを見て、その視点から言述しているのである。だから、Media Point Fractal とも呼べよう。

参照:

フラクタル

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フラクタルの例(マンデルブロ集合 )
フラクタル (仏 fractale) は、フランスの数学者 ブノワ・マンデルブロ (Benoît Mandelbrot) が導入した幾何学 の概念。図形 の部分と全体が自己相似 になっているものなどをいう(正確な定義については後述)。

概要 [編集 ]
フラクタルの具体的な例としては海岸 線 の形などが挙げられる。海岸線は微視的にみると複雑に入り組んだ形状をしているが、これを拡大するとさらに細かい形状が見えてくるようになり、結果として 拡大しても同じように複雑に入り組んだ形状をしている。これに対して、一般的な図形は、拡大するにしたがって、その細部は変化が少なくなり、なめらかな形 状になっていく。
そして、海岸線の長さを測ろうとする場合、より小さいものさしで測れば測るほど、大きなものさしでは無視されていた微細な凹凸が測定されるようになり、その測定値は長くなっていく。したがって、このような図形の長さ は無限 であると考えられる。これは、実際問題としては、分子 の大きさ程度よりも小さいものさしを用いることは不可能だが、理論的な極限 としては測定値が無限大になるということである。
このような図形を評価するために導入されたのが、整数 以外の値にもなるフラクタル次元 である。フラクタル次元は、数学的に定義された図形などでは、厳密な値が算出できることもあるが、前述の海岸線などの場合は、フラクタル次元自体が測定値になる。つまり、比較的なめらかな海岸線では、フラクタル次元は線の次元である1に近い値となり、リアス式海岸 などの複雑な海岸線では、それよりは大きな値となり、その値により図形の複雑さが分かる。なお、実際の海岸線のフラクタル次元は1.1〜1.4程度である。
海岸線の形、山の形、枝分かれした樹木の形などの3次元 空間 内に存在するもののフラクタル次元は、0より大きく3以下の値になるが、数学的にはさらに高次の次元を持つものも考えられる。この様な図形のほとんどは分数 (fraction、フラクション)の次元を持ったフラクタルな図形と呼ばれる。ただし、実際には、フラクタル次元は、分数になるというよりは無理数 になる。また、中には整数の次元を持つものもある。その例としてはマンデルブロ集合 の周があり、これは曲線でありながら2次元である。


定義 [編集 ]
フラクタルの特徴は直感的には理解できるものの、数学的に厳密に定義するのは非常に難しい。マンデルブロはフラクタルを「ハウスドルフ次元 が位相次元 を厳密に上回るような集合」と定義した。完全に自己相似 なフラクタルにおいては、ハウスドルフ次元はミンコフスキー次元 と等しくなる。
フラクタルを定義する際の問題には次のようなものがある。
• 「不規則すぎること」に正確な意味が存在しない
• 「次元」の定義が唯一でない
• 物体が自己相似である方法がいくつも存在する
• 全てのフラクタルが再帰的に定義されるとは限らない


フラクタル研究の歴史 [編集 ]
始まりは、イギリス の気象学者 ルイス・フライ・リチャードソン の国境線に関する検討である。国境を接するスペイン とポルトガル は、国境線の長さとしてそれぞれ987kmと1214kmと別の値を主張していた。リチャードソンは、国境線の長さは用いる地図の縮尺によって変化し、縮尺と国境線の長さがそれぞれ対数 を取ると直線状に相関することを発見した。この様な特徴をフラクタルと名付けて一般化したのがマンデルブロである。フラクタルの研究者高安秀樹 によると、マンデルブロは株価チャートを見ていてフラクタルの着想を得たという。


フラクタルの例 [編集 ]


ジュリア集合
フラクタルな図形は自然界のあらゆる場面で出現されるとされ(例:樹木 の枝分かれ)、自然科学の新たなアプローチ手法となった。逆に、コンピュータグラフィックス における地形や植生などの自然物形状の自動生成のアルゴリズムとして用いられる事も多い(フラクタル地形 など)。
また、自然界で多くみられる一見不規則な変動(カオス )をグラフにプロットするとそのグラフはフラクタルな性質を示すことが知られ、カオスアトラクター と呼ばれる。
株価 の動向など社会的な現象もフラクタルな性質を持っている。
• カントール集合
• シェルピンスキーのギャスケット
• コッホ曲線
• 高木曲線
• ヒルベルト曲線
• マンデルブロ集合
• ジュリア集合
• メンガーのスポンジ
• ロマネスコ (fr:Chou romanesco )明確なフラクタル図形をした野菜。
• バーニングシップ・フラクタル
• リアプノフ・フラクタル


人体とフラクタル [編集 ]
血管の分岐構造や腸の内壁などはフラクタル構造であるが、それは次のような理由によるものだろうと考えられている。
例えば血管の配置を考えたとき、人体において体積は有限であり貴重なリソースであると言えるので、血管が占有する体積は可能な限り小さいことが望ましい。一方、ガス交換等に使える血管表面積は可能な限り大きく取れる方が良い。
このような目的からすると、有限の体積の中に無限の表面積を包含できるフラクタル構造(例えばメンガーのスポンジ を参照)は非常に合理的かつ効率的であることが解る。しかも、このような構造を生成するために必要な設計情報も、比較的単純な手続きの再帰的な適用で済まされるので、遺伝情報に占める割合もごく少量で済むものと考えられる。


関連項目 [編集 ]

ウィキメディア・コモンズ には、フラクタル に関連するマルチメディアがあります。
• ハウスドルフ次元
• ボックス次元
• フラクタル幾何
• 非線形科学
• フラクタルアート - フラクタル地形
• 反復関数系
• フラクタル圧縮
・・・・・

カテゴリ : コンピュータグラフィックス | フラクタル | 世界観 | 数学に関する記事


カオス理論

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カオス理論(‐りろん、Chaos theory)は、決定論 的な動的システム の一部に見られる、予測できない複雑な様子を示す現象を扱う理論である。
ここで言う予測できないとは、決してランダムということではない。その振る舞いは決定論的法則に従うものの、その過去および未来の振る舞いの予測には、ある時点(初期値など)において無限の精度の情報が必要とされるため、観測による予測が不可能に近いという意味である。

定義 [編集 ]
カオスの数学的定義は、研究者ごとに違い、統一的な見解は得られていないが、およそ以下の性質を持つものとされている。
1 リアプノフ指数 が0より大
2 何らかのポアンカレ写像 により、テント写像 が確認できる(後述するローレンツカオスの場合)
また、カオスには以下の特徴が現れる。
• 単純な数式から、ランダム に見える複雑な振る舞いが発生する
• 短期的(リアプノフ時間 程度)には予測可能
• 初期値のわずかな違いが未来の状態に大きな違いをもたらす初期値鋭敏性がある
• 過去の観測データから将来の長期予測が困難となる
一部のシステムが複雑な振る舞いをするのは、その振る舞いを表す方程式 の非線形 性が原因である(後述するローレンツカオスの場合、テント写像により引き起こされる)。

カオス研究の歴史 [編集 ]
19世紀における一般的な非線形 微分方程式の解法手法は、ハミルトン 等の成果に代表される積分法(積分、代数変換の有限回の組み合わせ)による求解と、微小なずれを補正する摂動 法である。この積分法による解が得られる系を、リュービル は可積分系 と呼んだ。その条件は、保存量の数が方程式の数(自由度)と一致することであった。
1892年から1899年、アンリ・ポアンカレ (Jules-Henri Poincaré)は、3体問題 では保存量 が不足し積分法による解析解が得られないことを証明した(このような系を非可積分系 と呼ぶ)。彼は、この場合に軌道が複雑となることを示唆している。ただし、この時点では、その実態は認識されていなかった。
コルモゴロフ 、チリコフ 等は、このハミルトン力学系 (例えば、多体問題 といった散逸項 の無いエネルギーが保存される系)のカオス研究を進めた。大自由度ハミルトニアン系カオスは、統計力学 の根源にも結びつくものでもあるが、その定義すら困難であり今後の研究が期待される。
テント写像により引き起こされるカオスについて、1963年 ローレンツ・アトラクタ で有名なエドワード・ローレンツ (Edward Lorenz)により提唱された。このタイプのカオスは、ローレンツカオスと呼ばれる(後述するカオスの例)。
京都大学 工学部の上田v亮 は、 1961年に既に、非線形常微分方程式を解析する電気回路で発生したカオスを物理現象として観測し、不規則遷移現象と称してカオスの基本的性質を明らかに していた。しかし、日本の学会ではその重要性が認識されず長い間日の目を見なかった。この上田の発見は、ジャパニーズアトラクターとして海外で評価されて いる。
これらの複雑な軌道の概念は1975年、ヨーク (James A. Yorke )と李天岩 (リー・ティエンイエンen )によりカオスと呼ばれるようになった。また、マンデルブロ集合 で有名なブノワ・マンデルブロ などにより研究が進んだ。
一方では、非線形方程式の中にはソリトン (浅 水波のモデル)のように無限の保存量を持ち、安定した波形を保ち将来予測の可能な、解析的な振る舞いが明らかになっているものもあり、カオスとは対極にあ る存在である。しかし、ソリトンと言えども、連続無限自由度を扱うような特殊な場合で可積分系が破れることがあり、その場合カオスになることが指摘され た。


カオスの例(ローレンツカオス) [編集 ]
• ロジスティック写像
二次方程式を用いた写像
をロジスティック写像と呼ぶ。もともとロジスティック方程式 という連続時間の微分方程式として、19世紀から知られていたが、写像として時間を離散的にすることで、極めて複雑な振舞いをすることが1976年 ロバート・メイによって明らかにされた。
ロジスティック写像は生物の個体数が世代を重ねることでどのように変動していくのかのモデルとして説明される。ここでa(下図の横軸)が繁殖率、Xn(下図の縦軸)がn世代目の個体数を表している。
*繁殖率a<3のとき 個体数Xnはある一定の値に収束する。
*3≤a≤3.56995のとき Xnが2つの値を繰り返す様になる。さらにaを増やすとXnのとる値が4つ、8つと増加していく。この周期逓倍点の間隔は一定の比率ファイゲンバウム定数 で縮まる。
*3.56995 この様に単純な二次方程式から複雑な振る舞いが発生し、またa=4付近では初期値X0のわずかな違い(例えば0.1と0.1000001)が将来の値Xnに決定的な違いをもたらしている。

横軸はaを、縦軸はXn収束する値を表している。a=3で2値の振動へと分岐し、更に分岐を繰り返していくことが分かる。
• 実際の個体数の変動
a=3の場合。2値の振動に収束する。 a=3.9の場合。規則性のない変動となる。


カオスの判定 [編集 ]
カオスにはその必要十分条件が与えられていないことから、カオスの判定は複数の定義の共通を持って、カオス性があるという判定以外に方法が無い。こ のため、カオスの判定とは必要条件という性質を持つ。多くは、スペクトルの連続性、ストレンジアトラクタ、リアプノフ指数、分岐などを以ってカオスと判定 している。
しかしながら、只のランダムノイズであっても、リアプノフ指数が正になるといった事例が指摘され、こういった面よりノイズ とカオスは区別はつかない(また、カオスより擬似乱数 を発生させることはできる)。 そのため、例えばリアプノフ指数や、何をもってストレンジアトラクタと見なすかの指標をそのまま信用してカオスと判定して良いかという問題が起きる。
そういった意味で、1992年ノイズか決定論的システムから作成されたデータかどうかを検定 する「サロゲート法」が提案された。サロゲート法は基本的には統計学における仮説検定 に もとづく手法であるため、与えられたデータが検定にパスした場合でも、そのデータについて「仮定したノイズであるとは言いがたい」という主張はできるが、 「カオスである」という断定をすることはできず、その意味で決定的な検定方法ではない。以下サロゲート法の概要について説明する。
• サロゲート法
サロゲート法には様々な方法がある。代表的な「フーリエ変換型サロゲート法」について述べる。
帰無仮説:元時系列は、(予め仮定する)ノイズである
有意水準をαとする
1 元時系列のパワースペクトル を計算
2 パワースペクトルを元時系列とし、位相をランダムに設定した新スペクトルをN個作成
3 新スペクトルをフーリエ逆変換して、新時系列をN個作成(これらをサロゲートデータと呼ぶ)
4 元の時系列の統計値 ・・・・・


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